Sơ đồ tư duy Toán lớp 10 học kỳ II

📝 Dàn ý chi tiết

Toàn bộ ý trên sơ đồ kèm giải thích, ví dụ — đọc lại trước khi làm đề.

1. 1. Chương VI. Hàm số bậc hai

   • Hàm số, tập xác định

     y = f(x) xác định trên D. Đồng biến trên K: x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂); nghịch biến: x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂).

   • Đồ thị y = ax² + bx + c

     a ≠ 0. Parabol có đỉnh I(−b/(2a); −Δ/(4a)), trục đối xứng x = −b/(2a); a > 0 bề lõm hướng lên, a < 0 bề lõm hướng xuống.

   • Bảng biến thiên

     a > 0: nghịch biến trên (−∞; −b/(2a)), đồng biến trên (−b/(2a); +∞), giá trị nhỏ nhất −Δ/(4a). a < 0: ngược lại, giá trị lớn nhất −Δ/(4a).

   • Ứng dụng

     Bài toán quỹ đạo ném, cổng parabol, doanh thu lớn nhất: lập hàm bậc hai rồi dùng đỉnh parabol.

2. 2. Chương VI. Dấu tam thức, phương trình

   • Định lí về dấu tam thức bậc hai

     f(x) = ax² + bx + c. Δ < 0: f(x) cùng dấu a với mọi x. Δ = 0: cùng dấu a với mọi x ≠ −b/(2a). Δ > 0: “trong trái ngoài cùng” so với hai nghiệm.

   • Giải bất phương trình bậc hai

     Tìm nghiệm của tam thức, lập bảng xét dấu, chọn khoảng thỏa mãn. Ví dụ x² − 3x + 2 < 0 ⇔ 1 < x < 2.

   • Tam thức luôn dương

     ax² + bx + c > 0 với mọi x ∈ ℝ ⇔ a > 0 và Δ < 0 (nếu a chứa tham số, xét riêng trường hợp a = 0).

   • Phương trình quy về bậc hai

     • √f(x) = √g(x)

       Bình phương hai vế được f(x) = g(x); giải rồi thử lại, giữ nghiệm làm f(x) ≥ 0 (hoặc g(x) ≥ 0).

     • √f(x) = g(x)

       ⇔ g(x) ≥ 0 và f(x) = [g(x)]². Giải rồi loại nghiệm làm g(x) < 0.

3. 3. Chương VII. Đường thẳng trong mặt phẳng Oxy

   • Phương trình tham số

     Qua M(x₀; y₀), vectơ chỉ phương u→ = (a; b): x = x₀ + at, y = y₀ + bt.

   • Phương trình tổng quát

     Qua M(x₀; y₀), vectơ pháp tuyến n→ = (A; B): A(x − x₀) + B(y − y₀) = 0 hay Ax + By + C = 0. Nếu u→ = (a; b) thì chọn n→ = (b; −a).

   • Vị trí tương đối, góc

     cos(Δ₁, Δ₂) = |A₁A₂ + B₁B₂| / (√(A₁² + B₁²)·√(A₂² + B₂²)). Δ₁ ⊥ Δ₂ ⇔ A₁A₂ + B₁B₂ = 0.

   • Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

     d(M, Δ) = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²).

4. 4. Chương VII. Đường tròn và ba đường conic

   • Phương trình đường tròn

     Tâm I(a; b), bán kính R: (x − a)² + (y − b)² = R². x² + y² − 2ax − 2by + c = 0 là đường tròn ⇔ a² + b² − c > 0, R = √(a² + b² − c).

   • Tiếp tuyến của đường tròn

     Tiếp tuyến tại M(x₀; y₀): (x₀ − a)(x − x₀) + (y₀ − b)(y − y₀) = 0. Đường thẳng Δ tiếp xúc đường tròn ⇔ d(I, Δ) = R.

   • Elip

     x²/a² + y²/b² = 1 (a > b > 0); c² = a² − b²; tiêu điểm F₁(−c; 0), F₂(c; 0); MF₁ + MF₂ = 2a.

   • Hypebol

     x²/a² − y²/b² = 1 (a, b > 0); c² = a² + b²; |MF₁ − MF₂| = 2a.

   • Parabol

     y² = 2px (p > 0); tiêu điểm F(p/2; 0), đường chuẩn x = −p/2; mọi điểm M trên parabol có MF = khoảng cách từ M đến đường chuẩn.

5. 5. Chương VIII. Đại số tổ hợp

   • Quy tắc cộng, quy tắc nhân

     Các trường hợp rời nhau → cộng; công việc gồm nhiều công đoạn liên tiếp → nhân. Sơ đồ hình cây giúp đếm không sót.

   • Hoán vị

     Pₙ = n! = 1·2·…·n: số cách sắp xếp n phần tử khác nhau thành một hàng.

   • Chỉnh hợp

     Aₙᵏ = n!/(n − k)!: chọn k phần tử từ n phần tử rồi sắp thứ tự (có thứ tự).

   • Tổ hợp

     Cₙᵏ = n!/[k!(n − k)!]: chọn k phần tử từ n phần tử, không kể thứ tự. Cₙᵏ = Cₙⁿ⁻ᵏ.

   • Nhị thức Newton (n = 4, 5)

     (a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴; (a + b)⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵.

6. 6. Chương IX. Xác suất cổ điển

   • Không gian mẫu, biến cố

     Ω là tập mọi kết quả có thể của phép thử; biến cố A ⊂ Ω; biến cố đối Ā = Ω \ A.

   • Định nghĩa cổ điển

     Các kết quả đồng khả năng: P(A) = n(A)/n(Ω). 0 ≤ P(A) ≤ 1; P(Ω) = 1; P(∅) = 0.

   • Xác suất biến cố đối

     P(Ā) = 1 − P(A). Hay dùng cho biến cố “có ít nhất một”: tính phần bù “không có cái nào” rồi lấy 1 trừ.

   • Dùng tổ hợp để đếm

     Chọn 3 bạn từ 5 nam và 4 nữ: P(cả 3 là nữ) = C₄³/C₉³ = 4/84 = 1/21.