Sơ đồ tư duy Toán lớp 12 học kỳ I

📝 Dàn ý chi tiết

Toàn bộ ý trên sơ đồ kèm giải thích, ví dụ — đọc lại trước khi làm đề.

1. 1. Chương I. Tính đơn điệu và cực trị

   • Xét tính đơn điệu

     f'(x) ≥ 0 trên K (bằng 0 tại hữu hạn điểm) ⇒ f đồng biến trên K; f'(x) ≤ 0 ⇒ nghịch biến. Bước: tập xác định → f' → nghiệm f' → bảng biến thiên.

   • Cực trị

     f' đổi dấu từ + sang − khi qua x₀: x₀ là điểm cực đại; từ − sang +: điểm cực tiểu. f(x₀) là giá trị cực trị; (x₀; f(x₀)) là điểm cực trị của đồ thị.

   • Đọc đồ thị, bảng xét dấu f'

     Đồ thị y = f'(x) nằm trên Ox ⇒ f đồng biến; f'(x) đổi dấu tại x₀ ⇒ x₀ là điểm cực trị; f' chạm Ox mà không đổi dấu ⇒ không phải cực trị.

2. 2. Chương I. GTLN, GTNN và bài toán thực tế

   • Trên đoạn [a; b]

     f liên tục trên [a; b]: tìm các điểm trong (a; b) tại đó f' = 0 hoặc không xác định; tính f tại các điểm đó và tại a, b; số lớn nhất là max, nhỏ nhất là min.

   • Trên khoảng

     Lập bảng biến thiên trên khoảng đó; giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (nếu có) đọc từ bảng.

   • Bài toán tối ưu thực tế

     Đặt ẩn x, biểu diễn đại lượng cần tối ưu thành f(x), tìm miền của x, khảo sát f. Ví dụ hộp không nắp thể tích lớn nhất, chi phí nhỏ nhất, lợi nhuận lớn nhất.

3. 3. Chương I. Tiệm cận và khảo sát đồ thị

   • Tiệm cận ngang

     y = y₀ nếu lim(x→+∞) f(x) = y₀ hoặc lim(x→−∞) f(x) = y₀.

   • Tiệm cận đứng

     x = x₀ nếu ít nhất một trong các giới hạn lim(x→x₀⁺) f(x), lim(x→x₀⁻) f(x) bằng +∞ hoặc −∞.

   • Tiệm cận xiên

     y = ax + b (a ≠ 0) nếu lim[f(x) − (ax + b)] = 0 khi x → +∞ hoặc x → −∞; a = lim f(x)/x, b = lim[f(x) − ax].

   • Sơ đồ khảo sát hàm số

     Tập xác định → chiều biến thiên, cực trị, giới hạn, tiệm cận → bảng biến thiên → vẽ đồ thị (giao với trục, điểm đặc biệt, tâm đối xứng).

   • Các dạng đồ thị

     • y = ax³ + bx² + cx + d (a ≠ 0)

       Có hai cực trị ⇔ y' = 0 có hai nghiệm phân biệt. Đồ thị nhận điểm có hoành độ là nghiệm của y'' = 0 làm tâm đối xứng.

     • y = (ax + b)/(cx + d)

       c ≠ 0, ad − bc ≠ 0: tiệm cận đứng x = −d/c, tiệm cận ngang y = a/c; hàm số đơn điệu trên từng khoảng xác định.

     • y = (ax² + bx + c)/(mx + n)

       Có tiệm cận đứng x = −n/m và tiệm cận xiên (chia đa thức); tâm đối xứng là giao điểm hai tiệm cận.

4. 4. Chương II. Vectơ trong không gian

   • Phép toán vectơ

     Quy tắc ba điểm, hình bình hành như trong mặt phẳng. Quy tắc hình hộp ABCD.A'B'C'D': AB→ + AD→ + AA'→ = AC'→.

   • Tích vô hướng

     a→·b→ = |a→|·|b→|·cos(a→, b→). a→ ⊥ b→ ⇔ a→·b→ = 0. Dùng để tính góc giữa hai đường thẳng.

   • Ứng dụng thực tế

     Hợp lực (tổng các vectơ lực), công của lực A = F→·d→; biểu diễn chuyển động trong không gian.

5. 5. Chương II. Hệ trục tọa độ Oxyz

   • Tọa độ điểm, vectơ

     M(x; y; z) ⇔ OM→ = x·i→ + y·j→ + z·k→. AB→ = (x_B − x_A; y_B − y_A; z_B − z_A).

   • Biểu thức tọa độ các phép toán

     a→ ± b→ = (a₁ ± b₁; a₂ ± b₂; a₃ ± b₃); k·a→ = (ka₁; ka₂; ka₃); a→·b→ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃.

   • Độ dài, góc

     |a→| = √(a₁² + a₂² + a₃²); AB = √((x_B − x_A)² + (y_B − y_A)² + (z_B − z_A)²); cos(a→, b→) = a→·b→/(|a→|·|b→|).

   • Trung điểm, trọng tâm

     Trung điểm đoạn AB: trung bình cộng tọa độ A, B. Trọng tâm tam giác: trung bình cộng tọa độ ba đỉnh.

   • Cùng phương, vuông góc

     a→, b→ (b→ ≠ 0→) cùng phương ⇔ a→ = k·b→; a→ ⊥ b→ ⇔ a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = 0.

6. 6. Chương III. Độ phân tán của mẫu ghép nhóm

   • Khoảng biến thiên

     R = đầu mút phải của nhóm cuối − đầu mút trái của nhóm đầu (với các nhóm có tần số khác 0).

   • Khoảng tứ phân vị

     Δ_Q = Q₃ − Q₁ (Q₁, Q₃ tính theo công thức nội suy trong nhóm chứa chúng); đo độ phân tán của nửa số liệu ở giữa, ít bị ảnh hưởng bởi giá trị ngoại lệ.

   • Phương sai, độ lệch chuẩn

     s² = [n₁(c₁ − x̄)² + … + nₖ(cₖ − x̄)²]/n = (n₁c₁² + … + nₖcₖ²)/n − x̄²; s = √s² (cᵢ: giá trị đại diện).

   • So sánh hai mẫu

     Cùng đơn vị đo: mẫu có độ lệch chuẩn (hoặc khoảng tứ phân vị) nhỏ hơn thì số liệu đồng đều, ổn định hơn.