Sơ đồ tư duy Toán lớp 12 học kỳ II

📝 Dàn ý chi tiết

Toàn bộ ý trên sơ đồ kèm giải thích, ví dụ — đọc lại trước khi làm đề.

1. 1. Chương IV. Nguyên hàm

   • Định nghĩa

     F là nguyên hàm của f trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x ∈ K. Khi đó ∫f(x)dx = F(x) + C.

   • Tính chất

     ∫k·f(x)dx = k∫f(x)dx (k ≠ 0); ∫[f(x) ± g(x)]dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx; ∫f'(x)dx = f(x) + C.

   • Bảng nguyên hàm

     • Lũy thừa

       ∫xᵅdx = xᵅ⁺¹/(α + 1) + C (α ≠ −1); ∫(1/x)dx = ln|x| + C.

     • Mũ

       ∫eˣdx = eˣ + C; ∫aˣdx = aˣ/ln a + C (0 < a ≠ 1).

     • Lượng giác

       ∫sin x dx = −cos x + C; ∫cos x dx = sin x + C; ∫dx/cos²x = tan x + C; ∫dx/sin²x = −cot x + C.

2. 2. Chương IV. Tích phân và ứng dụng

   • Công thức Newton – Leibniz

     ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) − F(a), F là một nguyên hàm của f trên [a; b]. Ví dụ ∫₀¹ 2x dx = 1² − 0² = 1.

   • Tính chất tích phân

     Đổi cận thì đổi dấu; tích phân trên [a; b] = trên [a; c] + trên [c; b]; tích phân của tổng bằng tổng các tích phân; tích phân với cận bằng nhau bằng 0.

   • Ý nghĩa thực tế

     Quãng đường đi từ t = a đến t = b: s = ∫ₐᵇ v(t)dt. Tổng quát, tích phân của tốc độ thay đổi cho độ biến thiên của đại lượng.

   • Diện tích hình phẳng

     Giới hạn bởi y = f(x), y = g(x), x = a, x = b: S = ∫ₐᵇ |f(x) − g(x)|dx. Với trục Ox: g(x) = 0. f − g đổi dấu thì tách đoạn.

   • Thể tích vật thể

     Thiết diện vuông góc với Ox tại x có diện tích S(x): V = ∫ₐᵇ S(x)dx.

   • Thể tích khối tròn xoay

     Quay hình phẳng giới hạn bởi y = f(x), Ox, x = a, x = b quanh Ox: V = π∫ₐᵇ [f(x)]²dx.

3. 3. Chương V. Phương trình mặt phẳng

   • Vectơ pháp tuyến

     n→ ≠ 0→ có giá vuông góc với (P). Nếu (P) có cặp vectơ chỉ phương a→, b→ thì n→ = (a₂b₃ − a₃b₂; a₃b₁ − a₁b₃; a₁b₂ − a₂b₁).

   • Phương trình tổng quát

     Qua M(x₀; y₀; z₀), n→ = (A; B; C): A(x − x₀) + B(y − y₀) + C(z − z₀) = 0, hay Ax + By + Cz + D = 0.

   • Phương trình theo đoạn chắn

     (P) cắt các trục tại (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c) với abc ≠ 0: x/a + y/b + z/c = 1.

   • Song song, vuông góc

     (P) ∥ (Q) ⇔ n→, n'→ cùng phương và hai mặt phẳng không trùng nhau; (P) ⊥ (Q) ⇔ n→·n'→ = 0.

   • Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

     d(M, (P)) = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²).

4. 4. Chương V. Đường thẳng, mặt cầu, góc

   • Phương trình đường thẳng

     Qua M(x₀; y₀; z₀), vectơ chỉ phương u→ = (a; b; c): tham số x = x₀ + at, y = y₀ + bt, z = z₀ + ct; chính tắc (x − x₀)/a = (y − y₀)/b = (z − z₀)/c (abc ≠ 0).

   • Vị trí hai đường thẳng

     Xét u→, u'→ và điểm chung: song song hoặc trùng (u→, u'→ cùng phương), cắt nhau (có một điểm chung), chéo nhau (không cùng phương, không có điểm chung).

   • Công thức góc

     cos(Δ, Δ') = |u→·u'→|/(|u→|·|u'→|); sin(Δ, (P)) = |u→·n→|/(|u→|·|n→|); cos((P), (Q)) = |n→·n'→|/(|n→|·|n'→|).

   • Phương trình mặt cầu

     Tâm I(a; b; c), bán kính R: (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = R². Dạng x² + y² + z² − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 với a² + b² + c² − d > 0.

5. 5. Chương VI. Xác suất có điều kiện

   • Xác suất có điều kiện

     P(A|B) = P(AB)/P(B) với P(B) > 0: xác suất của A khi biết B đã xảy ra. Suy ra P(AB) = P(B)·P(A|B).

   • Công thức xác suất toàn phần

     P(A) = P(B)·P(A|B) + P(B̄)·P(A|B̄).

   • Công thức Bayes

     P(B|A) = P(B)·P(A|B) / [P(B)·P(A|B) + P(B̄)·P(A|B̄)].

   • Sơ đồ hình cây

     Nhánh cấp 1: P(B), P(B̄); nhánh cấp 2: các xác suất có điều kiện. Nhân dọc theo nhánh, cộng các nhánh dẫn tới A. Dạng hay gặp: xét nghiệm bệnh, sản phẩm lỗi.

6. 6. Ôn thi tốt nghiệp THPT

   • Cấu trúc đề (định dạng từ 2025)

     90 phút. Phần I: 12 câu trắc nghiệm nhiều lựa chọn; Phần II: 4 câu đúng/sai, mỗi câu 4 ý; Phần III: 6 câu trả lời ngắn.

   • Tính điểm câu đúng/sai

     Mỗi câu tối đa 1 điểm: đúng 1 ý được 0,1; 2 ý 0,25; 3 ý 0,5; cả 4 ý 1 điểm. Xét từng ý độc lập; ý sau thường dùng kết quả ý trước.

   • Kiến thức lớp 11 hay gặp

     Lượng giác, cấp số, mũ – lôgarit, góc và khoảng cách trong không gian, quy tắc cộng – nhân xác suất, đạo hàm, thống kê mẫu ghép nhóm.

   • Bài toán thực tế

     Tối ưu bằng đạo hàm, quãng đường từ vận tốc (tích phân), tọa độ Oxyz trong mô hình (phòng, drone, ăng-ten), xác suất Bayes; đọc kĩ yêu cầu làm tròn.